Преглед на кода на Крива

{{друго значение|математическото понятие|селото в Егейска Македония|Крива (дем Пеония)}}
[[Файл:Trident de Newton.png|мини|210px|Тризъбецът на Нютон е пример за равнинна [[алгебрична крива]] от трета степен]]

'''Крива''' в [[математика]]та е понятие, което се опитва да дефинира формално интуитивната представа за едномерен и непрекъснат обект. Най-простите примери за криви са [[права (геометрия)|правата]] и [[окръжност]]та. Математиката изучава множество различни видове криви, както и техните свойства и приложения.

== Исторически факти ==
През всички етапи на развитие на математиката дефинирането на понятието крива е създавало известни логически и технически трудности, поради което съществуват различни дефиниции в различните клонове на [[геометрия]]та.

За нуждите на елементарната (училищна) геометрия не се дава обща дефиниция, а кривите се разглеждат самостоятелно, обикновено като [[геометрично място на точки]] или в рамките на задачи за [[построения с линийка и пергел]]. Дефинирани са правата, коничните сечения и някои други прости видове криви. Прави се същественото уточнение, че кривите са [[линия|линии]], които не са начупени.

Математиците през всички епохи обаче са се опитвали да обобщят понятието, като на преден план изведат общите характеристики и свойства на кривите.

* В древността първият опит за определение на кривата дава [[Евклид]], който я нарича ''„дължина без широчина“''. Важно е да се знае, че античните математици са постигнали поразителни успехи в изучаването на цял клас криви, известни като [[конични сечения]] – елипса, парабола, хипербола. Въпреки очевидните разлики между техните графики, общата им математическа природа е открита още около 340 г. от един от учителите на [[Александър Македонски]], Менехъм, и от Аполоний от Пергам.

* След резултатите на гръцките математици до 3 – 4 век, в изучаването на кривите настъпва пауза от 12 века, през които не е направено нито едно откритие, до [[1522]] г. когато Йоханес Вернер изследва някои свойства на окръжността. Определящо се оказва навлизането в геометрията на методите от анализа и [[алгебра]]та: разграничени са отделните видове криви (равнинни, пространствени), което е предпоставка за по-обобщена дефиниция на понятието крива. От периода 16 – 18 век датира доста по-общото определение, използвано в [[аналитична геометрия|аналитичната геометрия]]: ''„Равнинна крива е множество от решения на уравнения с две неизвестни от вида F(x,y) = 0“''. Пространствените криви се представят с две уравнения на три неизвестни: F(x,y,z) = 0, G(x,y,z) = 0. <br />В [[Математически анализ|математическия анализ]] кривата може също да се разглежда и като траектория на движеща се материална точка. За целта се представя в параметричен вид с уравнения от вида <math>x = \varphi(t), y = \psi(t)</math>, където <math>\varphi(t), \psi(t)</math> са произволни функции в някакъв интервал от [[реално число|реалната]] числова ос t<sup>→</sup>. В тримерно пространство кривите се изразяват чрез три функции, но отново на един параметър.

* През 1882 г. [[Камий Жордан]] дава друга дефиниция: ''„Кривата е непрекъснат образ на интервал в равнина.“'' Тази дефиниция (на ''„жорданова крива“'', както е наречена по-късно) макар и прецизна, е твърде отдалечена от интуитивната представа на Евклид, тъй като позволява да се наричат криви такива обекти като [[крива на Пеано|кривата на Пеано]], която изпълва площта на цял [[квадрат]]. Дефиницията на Жордан е [[топология|топологическа]] дефиниция.

== Класификация ==
=== В зависимост от размерността на пространството ===
* '''Равнинни криви''' – когато се задават с едно уравнение на две неизвестни F(x,y) = 0 или в параметричен вид като две уравнения на един параметър <math>x = \varphi(t), y = \psi(t)</math>.

* '''Пространствени криви''' – когато се задават с две уравнения на три неизвестни F(x,y,z) = 0, G(x,y,z) = 0 или в параметричен вид като три уравнения на един параметър <math>x = \varphi(t), y = \psi(t), z = \xi(t)</math>

=== В зависимост от вида на функцията ===
* '''Алгебрични криви''' – съвкупности от точки, чиито декартови [[координати]] удовлетворяват алгебрични уравнения.
:* Равнинната [[алгебрична крива]] се задава с уравнението F(x,y) = 0, където F(x,y) е [[полином]] на x,y. Равнинната алгебрична крива може да се получи като сечение на алгебрична повърхнина с равнина. Степента на полинома F(x,y) задава ''реда'' на кривата. Този ред още се дефинира и като максималния брой пресечни точки на една права с разглежданата крива.
:* Пространствената алгебрична крива се задава се задава със системата уравнения F(x,y,z) = 0, G(x,y,z) = 0, където F(x,y,z) и G(x,y,z) са полиноми на x,y,z. Пространствената алгебрична крива още се дефинира като сечение на две алгебрични повърхнини.

* '''Трансцендентни криви''' – криви, които не са алгебрични, т.е. когато функциите не са полиноми, а [[Тригонометрична функция|тригонометрични]], обратни тригонометрични, показателни, [[Логаритъм|логаритмични]], [[хиперболична функция|хиперболични функции]]. В този случай дефиниционната област на реалнозначните функции може да се разшири до цялата [[комплексна равнина]]. За разлика от алгебричните криви, трансцендентните могат да имат безброй много пресечни точки с дадена права, безброй много [[особена точка|особени точки]], [[екстремум]]и, [[асимптота|асимптоти]] и т.н. Наред с това, трансцендентните криви могат да имат точки, които не съществуват у алгебричните: например точки на прекъсване, [[асимптотична точка|асимптотични точки]] и др.
<br />
{| border="1" valign="top"
|'''Примери за криви'''
|| '''Равнинни'''
|| '''Пространствени'''
|-
| '''Алгебрични'''
|| [[Астроида]], [[Декартов лист]], [[Елипса]], [[Кардиоида]], [[Конхоида на Никомед]], [[Кръст (крива)|Кръст]], [[Къдрица на Анези]], [[Лемниската на Бернули]], [[Овал на Касини]], [[Окръжност]], [[Охлюв на Паскал]], [[Парабола]], [[Парабола на Нейл]], [[Строфоида]], [[Трисектриса]], [[Хипербола]], [[Цисоида]]
|| [[Крива на Вивиани]]
|-
|| '''Трансцендентни'''
|| [[Архимедова спирала]], [[Верижка]], [[Епитрохоида]], [[Епициклоида]], [[Логаритмична спирала]], [[Параболична спирала]], [[Суперелипса]], [[Трактриса]], [[Трохоида]], [[Хиперболична спирала]], [[Хипотрохоида]], [[Хипоциклоида]], [[Циклоида]]
|| [[Витлова линия]], [[Сферична спирала]]
|}

=== В зависимост от степента на кривата ===
Класификацията се отнася до алгебричните криви.
<br />
{|border="1" valign="top"
| '''Степен''' || '''Наименование, специфики''' || '''Примери'''
|-
|| 2 || ''Крива от втора степен (квадратична)'' || [[Елипса]], [[Парабола]], [[Хипербола]]
|-
|| 3 || ''Крива от трета степен (кубична)'' || [[Тризъбец на Нютон]], [[Цисоида]]
|-
|| 4 || ''Криви от четвърта степен'', най-много три двойни точки) || [[Овал на Касини]], [[Кръст (крива)|Кръст]], [[Декартов овал]]
|-
|| 6 || ''Криви от шеста степен'' || [[Пеперуда (крива)|Пеперуда]]
|}

=== Други видове криви ===
* [[Крива на Безие]] – параметрична крива от областта на [[числени методи|числените методи]], широко използвана в [[Компютърна графика|компютърната графика]]
* [[Сплайн]]
* [[Фрактал]]

== Вижте също ==
{{commons|Category:Curves}}

* [[Ректифициране на крива]], [[Квадратура]]
* [[Кривина (геометрия)|Кривина]], [[Торзия]]
* [[Асимптота]], [[Асимптотична точка]], [[Особена точка]], [[Рогова точка]]
* [[Кривомер]]

== Външни препратки ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Curve.html Страница за кривите на сайта на ''Система Mathematica'']
:* [http://mathworld.wolfram.com/PlaneCurve.html Равнинни криви]
:* [http://mathworld.wolfram.com/SpaceCurve.html Пространствени криви]
:* [http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicCurve.html Алгебрични криви]
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Java/index.html Интерактивни визуализации на JAVA на 56 най-известни криви в математиката]
* [http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCurves.html Портал за най-известните равнинни криви на xahlee.org]

[[Категория:Криви| ]]