Преглед на кода на Квадрат (алгебра)

[[Файл:Five Squared.svg|мини|168px<!-- at 160px and 200px lines render with unequal widths 
-->|{{math|5&sdot;5}} или {{math|5<sup>2</sup>}} (5 на квадрат) може да се изобрази графично с помощта на [[квадрат]]: всяко съставно квадратче представя една единица {{math|1&sdot;1}}, а големият квадрат представя {{math|5&sdot;5}}.]]

'''Квадратът''' на дадено [[число]] е [[Алгебра|алгебрична]] величина, равняваща се на произведението на числото със самото него.<ref>[https://www.mathsisfun.com/algebra/square-root.html Squares and Square Roots in Algebra].</ref> Действието, описващо получаването на този резултат, се нарича ''повдигане на квадрат'' и е идентично със [[степенуване (математика)|степенуване]] на степен [[2 (число)|2]]. Аналогично на другите форми на степенуване, повдигането на квадрат се обозначава с [[горен индекс]] 2 – например квадратът на 3 може да се запише като 3<sup>2</sup> и се равнява на числото 9. Важно свойство на повдигането на квадрат е, че квадратът на всяко число {{mvar|x}} е равен на квадрата на неговото [[противоположно число]] {{math|&minus;''x''}}, като по този начин е изпълнено тъждеството {{math|1=''x''<sup>2</sup> = (−''x'')<sup>2</sup>}}.

[[Числова редица|Числовата редица]] от квадратите на първите 50 цели числа (редица A000290 в [[Интерактивна енциклопедия на числови редици|ИЕЧР]]) има следния вид: <ref>N. J. A. Sloane – [https://oeis.org/A000290 The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences], 1964.</ref>
:0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116 , 2209, 2304, 2401, 2500.

Исторически естествените числа от тази редица са били наричани „квадратни“.
[[Файл:SquareChart.svg|център|thumb|350px|Графика на квадратната функция <math>y=x^2</math> при цели значения на <math>x</math> в интервала от 1 до 25]]
== Начини за представяне ==
Квадратът на естественото число <math>n</math> може да се представи като: 
* [[Сума (математика)|Сума]] от първите <math>n</math> [[нечетно число|нечетни числа]]:<br />
<math>n^2 = \sum_{k=1}^{n} {(2k - 1)}</math><br />
Примери:<br />
: 1: <math>1 = 1</math><br>
: 2: <math>4 = 1 + 3</math><br>
: 3: <math>9 = 1 + 3 + 5</math><br>
: 4: <math>16 = 1 + 3 + 5 + 7</math><br>
: 5: <math>25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9</math><br>
: 6: <math>36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11</math><br>
: 7: <math>49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13</math><br>
: …<br />

* [[Сума (математика)|Сбор]] от числото и удвоената сума на естествените числа преди него:<br />
<math>n^2 = 2\sum_{k=1}^{n-1} k + n = 1 + 1 + 2 + 2 + \ldots + (n - 1) + (n - 1) + n</math><br />
Примери:<br />
: 1: <math>1 = 1</math><br>
: 2: <math>4 = 1 + 1 + 2</math><br>
: 3: <math>9 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3</math><br>
: 4: <math>16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4</math><br>
: 5: <math>25 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5</math><br>
: 6: <math>36 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6</math><br>
: …

Сумата от квадратите на първите <math>n</math> естествени числа се изчислява по формулата:<br />
<math>\sum_{k=1}^n k^2  = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac {n(n + 1)(2n + 1)} {6}</math>

== Бележки и източници ==
<references/>

{{нормативен контрол}}

[[Категория:Математически функции]]
[[Категория:Алгебра]]