Преглед на кода на Квадрат

{{други значения|четириъгълника|повдигането на квадрат|квадрат (алгебра)|римския политик|Квинт Корнелий Квадрат}}

'''Квадратът''' ({{lang|la|на=от|quadrātum}} – „четириъгълник“) представлява [[равнина (математика)|равнинна]] [[геометрия|геометрична]] фигура, [[Правилен многоъгълник|правилен]] [[четириъгълник]]. Има четири равни страни и четири равни ъгли.

== Определение ==
Квадратът е [[правилен многоъгълник]] с четири [[Страна (геометрия)|страни]] и [[ъгли]], но може да се дефинира и посредством други геометрични фигури като:
* [[четириъгълник]], [[успоредник]] или [[трапец]] с равни страни и равни/прави ъгли;
* [[правоъгълник]] с равни страни;
* [[ромб]] с [[перпендикуляр]]ни страни.

== Свойства ==
[[Файл:SquareDefinition.svg|200px|мини|Квадрат с дължина на страната <math>a</math> и диагонал <math>d</math>]]
За квадрата са валидни следните твърдения:
* Четирите му страни са равни.
* Четирите вътрешни ъгли са еднакви и сборът им е 360° (2π), затова всичките са [[Прав ъгъл|прави]] (по 90°).
* Има четири оси на [[симетрия]] – двата [[диагонал]]а и двете [[Симетрала|симетрали]] на страните.
* Има център на симетрия – пресечната точка на диагоналите.
* Двата диагонала са равни, разполовяват се и са взаимно перпендикулярни.
* Диагоналите разполовяват ъглите на квадрата.
* Пресечната точка на диагоналите му е център на [[Вписана окръжност|вписаната]] и на [[Описана окръжност|описаната окръжност]].
* Всеки квадрат е подобен на всеки друг квадрат.
* Квадратът е правилен четириъгълник с [[централен ъгъл]] π /2 и <math>a = R \sqrt {2}</math>, където '''''R''''' е радиусът на описаната около квадрата окръжност.

За да начертаем квадрат, е достатъчно да знаем дължината на страната му или дължината на диагонала му.

== Формули ==
:{|border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" align="center"
|-
! bgcolor="#c0c0ff" colspan="3" align="center"|Формули за квадрат
|-
|Дължина на [[Страна (геометрия)|страната]]
|<math>a</math>
|-
|Дължина на [[диагонал]]а
|<math>d = a \sqrt{2}</math>
|-
|[[Периметър]]
|<math>P = 4 \,a</math>
|-
|[[Площ|Лице]]
|<math>S = a^2 = \frac{d^2}{2}</math><br><math>S = 4 \,r^2 = 2 \,R^2</math>
|-
|[[Радиус]] на [[Описана окръжност|описаната окръжност]]
|<math>R = \frac{a}{2} \sqrt{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}</math>
|-
|[[Радиус]] на [[Вписана окръжност|вписаната окръжност]]
|<math>r  = \frac{a}{2}</math>
|}

== Построение ==
Тъй като 4 е [[степен]] на 2, квадрат може да бъде [[Построения с линийка и пергел|построен с линийка и пергел]]:<ref>[http://mathworld.wolfram.com/ConstructiblePolygon.html Constructible Polygon, mathworld.wolfram.com]</ref>

[[Файл:Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif]]

== Квадратът в неевклидовата геометрия ==
{| class="wikitable" width=640
|[[Файл:Square_on_sphere.svg|200px]]<BR>Шест квадрата покриват сфера, като във всеки връх се допират точно три квадрата с вътрешни ъгли от по 120°. Това се нарича сферичен [[куб]].
|[[Файл:Square on plane.png|200px]]<BR>Евклидовата равнина може да бъде покрита с квадрати, като във всеки връх се допират точно четири квадрата с вътрешни ъгли по 90°. (Вижте [[Квадратно пано]])
|[[Файл:Square on hyperbolic plane.png|200px]]<BR>Квадрати покриват хиперболичната сфера, като във всеки връх се допират точно пет квадрата с вътрешни ъгли по 72°. (Вижте [[Петоредово квадратно пано]])
|}

В неевклидовата геометрия квадратите са по-общи многоъгълници с четири равни страни и равни ъгли.

В сферичната геометрия квадратът е [[многоъгълник]], чиито ръбове са дъги от големи окръжности на равни разстояния, които се пресичат в равните ъгли. За разлика от квадрата в равнинната геометрия ъглите на сферичния квадрат са по-големи от правия ъгъл.

В хиперболичната геометрия не съществуват квадрати с прави ъгли. Там квадратите имат остри ъгли.

== Кръстосан квадрат ==
[[Файл:Tetrahemihexahedron vertfig.png|160px|thumb|Кръстосан квадрат]]
Кръстосаният квадрат е диагонално сечение на квадрата, самопресичащ се многоъгълник, създаден чрез премахване на два срещуположни ръба на квадрат и повторно свързване чрез двата му диагонала. Той има половината от симетрията на квадрата, Dih<sub>2</sub>, ред 4. Има същото разположение на върховете като квадрата и е транзитивен по върховете. Изглежда като два равнобедрени правоъгълни триъгълника с общ връх на правите ъгъл, но геометричното пресичане не се счита за връх.

Кръстосаният квадрат понякога се оприличава на [[:ru:Галстук-бабочка|папийонка]] или [[пеперуда]]. Кръстосаният правоъгълник се получава чрез сечение на правоъгълника и двата специални случая на кръстосани четириъгълници. <ref>{{Cite web|url=http://www.technologyuk.net/mathematics/geometry/quadrilaterals.shtml|title=Quadrilaterals|last=Wells|first=Christopher J.|website=www.technologyuk.net|language=en|access-date=2017-12-12}}</ref>

Вътрешността на пресечен квадрат може да има [[многоъгълна плътност]] ±1 във всеки триъгълник, в зависимост от ориентацията на навиването по посока на часовниковата стрелка или обратно на часовниковата стрелка.

Квадратът и кръстосаният квадрат имат следните общи свойства:

* Противоположните страни са равни по дължина.
* Двата диагонала са еднакви по дължина.
* Има две линии на отражателна симетрия и ротационна симетрия от порядък 2 (през 180°).

Съществува в конфигурацията на върха на еднакви звездни многостени, [[тетрахемихексахедър]].

== Вижте също ==
* [[Четириъгълник]]
* [[Успоредник]]
* [[Правоъгълник]]
* [[Ромб]]
* [[Трапец]]

{{Многоъгълници}}

== Източници ==
<references />

{{нормативен контрол}}

[[Категория:Четириъгълници]]