Преглед на кода на Елипса

{{друго значение|геометричната крива|стилистичния похват|Елипса (литература)}}

'''Елипса''' (от гр. έλλειψη – липса) в [[геометрия]]та е [[геометрично място на точки]] ''M'', за които сумата от разстоянията до две дадени точки <math>F_1</math> и <math>F_2</math> (наречени ''фокуси'') е постоянна, т.е.

:<math>|F_1M|+|F_2M|=C.</math>

[[Файл:Ellipse Animation Small.gif|рамка|център|Елипса]]
[[Окръжност]]та е частен случай на елипса, когато двата фокуса съвпадат.

Разстоянието <math>|F_1F_2|</math> се нарича '''фокусно разстояние''', а отношението <math>\epsilon=|F_1F_2|/C</math> – '''[[ексцентрицитет]]'''.

Ексцентрицитетът характеризира разтеглеността на елипсата – колкото ексцентрицитетът е по-близък до 0, толкова повече елипсата наподобява окръжност, и обратното – колкото ексцентрицитетът е по-близък до 1, толкова тя е по-издължена.

Елипсата е вид [[конично сечение]]: ако един [[конус]] бъде пресечен от равнина, която не пресича основата на конуса и не е успоредна на нея, то сечението на конуса и равнината е елипса.

Частта от правата, минаваща през двата фокуса и ограничена от елипсата, се нарича ''голяма ос''. Голямата ос е най-дългата отсечка, която свързва 2 точки от елипсата. Правата, която минава през центъра (по средата между фокусите) и сключва прав ъгъл с голямата ос, се нарича ''малка ос''. [[Голяма полуос|Голямата полуос]] е половината от голямата ос. Аналогично малката полуос е половината от малката ос.

== Параметрично уравнение на елипса ==
Размерът на елипсата се определя от две константи, условно означени с ''a'' и ''b'', където ''a'' е дължината на главната полуос, а ''b'' – на малката полуос.

[[Файл:Ellipse_axis_bg.png|Осите на елипса]]

Елипса, чийто център е в началото на координатната система ''Oxy'' и е с главна ос по оста ''x'', се определя от каноничното уравнение

:<math>\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 </math>

Следващата графика демонстрира [[Питагорова теорема|питагоровата теорема]] ''a''² = ''b''² + ''c''² като частен случай на долното непараметрично уравнение за (''x'' = 0, ''y'' = b).

[[Файл:Ellipse_PLS_en.png|център]]

Същата елипса може да бъде представена чрез параметричните уравнения:
:<math>x = a\,\cos t</math>
:<math>y = b\,\sin t</math>
:<math>0 \leq t < 2\pi</math>
където се използват тригонометричните функции синус и косинус.

Ако елипсата не е с център началото на координатната система, но отново главната ѝ ос е по оста ''x'', тя може да бъде описана с уравнението

:<math>\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1 </math>

където (h,k) са координатите на центъра.

=== Ексцентрицитет ===
Формата на елипсата се изразява с число, наречено [[ексцентрицитет]] на елипсата, означавано с ''e''. Ексцентрицитетът се свързва с ''a'' и ''b'' чрез равенството
:<math>e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}</math>
където <math>c</math> (линейният ексцентрицитет на елипсата) е равен на разстоянието от центъра до който и да е от фокусите.
:<math>e = \frac{c}{a}</math>

Ексцентрицитетът е положително число между 0 (в частния случай на окръжност) и 1.

Колкото е по-голям ексцентрицитетът, толкова е по-голямо отношението на ''a'' към ''b'' и следователно елипсата е по-издължена.

Разстоянието между фокусите е 2''ae''.

=== Параметър(фокална полухорда) и полярни координати ===
Отсечката от фокуса на елипсата до самата елипса, перпендикулярна на главната ос, се нарича параметър (фокална полухорда) на елипса (бележи се с ''l''). Връзката между него и ''a'' и ''b'' се изразява чрез формулата ''al'' = ''b''<sup>2</sup>.

[[Файл:Elps-slr.png|център|Ellipse, showing semi-latus rectum]]

Елипса, на която единият от фокусите е в центъра на координатната система, а другият лежи върху отрицателната част на [[абсциса]]та, се разглежда в [[полярни координати]] с помощта на следното уравнение:
:<math>r (1 + e \cos \theta) = l \,</math>

Елипсата може да бъде разглеждана и като [[проекция]] на окръжност върху равнина, наклонена под ъгъл φ спрямо хоризонтална равнина, проектирана перпендикулярно върху нея. Тази проекция ни дава елипса с ексцентрицитет sin φ при φ различно от 90°.

=== Лице ===
Лицето на фигурата, заключена от елипсата, е <math>S = \pi </math> a b, където <math>\pi</math> е Архимедовата константа.

=== Обиколка ===
Обиколката на елипсата е 4''aE''(''e''), което не може да бъде изразено с проста функция. ''E'' в случая е пълен [[елиптичен интеграл]] от втори род.

Точното решение за изразяване на обиколката на една елипса е безкраен ред:

:<math>c = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \dots}\right]\!\,</math>

Добро приближение, дадено от [[Рамануджан]]:

:<math>c \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,</math>
където ''a'' и ''b'' са съответно голямата и малката полуос.

Горното може да бъде записано и като:

:<math>c \approx \pi a \left[ 3 (1+\sqrt{1-e^2}) - \sqrt{(3+ \sqrt{1-e^2})(1+3 \sqrt{1-e^2})} \right] \!\,</math>

=== Свойства като отражател ===
Ако имаме елипсовидно огледало с източник на светлина в един от фокусите, тогава всички лъчи ще се отразяват към една точка – втория фокус. Тъй като няма друга крива с това свойство, то може да бъде използвано като алтернативна дефиниция на елипса.

=== Елипсата във физиката ===
[[Йохан Кеплер]] открива, че орбитите, които планетите описват около [[Слънце]]то, са с форма на елипса. Това е и първият закон на Кеплер. По-късно [[Исак Нютон]] обяснява, че този факт е естествен резултат от неговия закон за всебщото привличане.

<!--More generally, in the gravitational [[two-body problem]], if the two bodies are bound to each other (i.e., the total energy is negative), their orbits are [[similar]] ellipses with the common [[barycenter]] being one of the foci of each ellipse.

The general solution for a [[harmonic oscillator]] in two or more [[dimension]]s is also an ellipse, but this time with the origin of the force located in the centre of the ellipse.

[[Albert Einstein]] also used the ellipse to prove his theory of relativity by using an elliptical shaped mass. Einstein's contributions to modern physics may not have been discovered if it were not for ellipses. --->

== Елипсите в компютърната графика ==
<!---
In many computer graphic environments (the support code that an application calls), an ellipse is defined by an enclosing rectangle. The dimensions of this rectangle correspond to the major and minor axes of the ellipse. In a drawing system, the graphic ''handles'' (the elements dragged to modify the ellipse) are often identical in position and function to those that control the enclosing rectangle.

High resolution printers (such as [[laser printer]]s) will usually contain a graphics interpreter, often executing code similar to or identical to [[PostScript]] or [[Portable Document Format]], codes defined by [[Adobe Systems]]. Such interpreters do not recognize codes to draw ellipses. Instead, the attached computer that accepts a „print ellipse“ command must decompose it into a number of [[Bézier spline]]s, which the printer code can interpret. The visual properties of this spline path will be acceptably close to a true ellipse in printed material.

The drawing of the ellipse on the computer's display will often be done directly by specialized codes within the graphics support code for all programs running within the computer. These will typically not support rotation of ellipses nor will they produce [[anti-aliasing|anti-aliased]] images. Modern operating systems are tending to use codes that are identical to that used for printing and are producing anti-aliased screen images through various means.

-->

=== Вижте също ===
* [[Елипсоид]]
* [[Сфероид]], -елипсоид, получен при въртенето на елипса около някоя от осите ѝ.
* [[Хипербола]]
* [[Парабола]]
* [[Орбита]]

=== Литература ===
* И. Бронштейн, [http://kvant.mccme.ru/1970/09/ellips.htm ''Эллипс''], [[Квант (журнал)|Квант]], № 9, 1970.-на руски

[[Категория:Равнинни фигури]]