Преглед на кода на Диофантово уравнение

Диофантово се нарича всяко алгебрично уравнение с [[Цяло число|цели]] коефициенти, решенията на което се търсят отново в множеството на целите числа. Специфично за системите от диофантови уравнения е, че броят на неизвестните в тях е по-голям от броя на уравненията в системата, т.е. системата е ''неопределена'' и има цял клас [[решение|решения]], чието графично изображение е [[алгебрична крива]], алгебрична [[повърхнина]] или обект от по-висок порядък.

Думата „диофантов“ произлиза от името на древногръцкия математик [[Диофант]] от Александрия, който в основния си труд „Аритметика“ разглежда [[линейно уравнение|линейни]] и [[квадратно уравнение|квадратни уравнения]] във връзка с резултати, останали от [[Древна Гърция|гръцки]] и [[Вавилония|вавилонски]] математици. Диофант е и един от първите математици, които въвеждат математическата символика в [[алгебра]]та (въвежда фиксирани означения за неизвестното и първите му степени).

Математическото изследване на диофантови уравнения се нарича диофантов анализ. Доколкото отделни диофантови уравнения винаги са представлявали любопитни задачи с повишена трудност, формулирането на обобщени теоретични подходи към класовете диофантови уравнения е достижение основно на ХХ век.

Два фактора определят вида, сложността и начина на решаване на диофантовите уравнения:
* броят на неизвестните;
* най-високата степен на неизвестна величина в уравнението (системата от уравнения).

=== Примери за диофантови уравнения ===
Нека в следващите примери <math>x</math>, <math>y</math> и <math>z</math> считаме за неизвестни, а другите буквени означения играят ролята на параметри.

* [[Теорема на Безу|Тъждеството на Безу]] <math>ax + by = 1</math> е линейно диофантово уравнение.
* Уравнението <math>x^n + y^n = z^n</math>.
** За <math>n = 2</math> съществуват безброй много [[Питагоров триъгълник|Питагорови тройки]] <math>(x,y,z)</math>.
** За по-високи стойности на ''n'', [[Последна теорема на Ферма|последната теорема на Ферма]] гласи, че не съществуват [[Естествено число|естествени числа]] ''x'', ''y'', ''z'', които удовлетворяват уравнението.
* Уравнението на Пел <math>x^2 - ny^2 = 1</math>, където ''n'' е цяло число, различно от квадрат.
* За общите решения на диофантовите уравнения от степен, по-висока от 2, се знае малко, но уравненията на Туе от вида <math>\sum_{i=0}^n{a_i x^i y^{n-i}} = c</math>, където <math>n \geq 3</math> и <math>c \not= 0</math> са общо взето решими.

== Диофантов анализ ==
Основните въпроси, от които диофантовият анализ се интересува при изучаване на конкретно диофантово уравнение, са:

# Дали уравнението има поне едно решение
# Дали има решения различни от тези, които се намират с елементарни методи
# Дали има крайно или безкрайно много решения
# Възможно ли е (поне на теория) всички решения да бъдат описани
# Възможно ли е всички решения да бъдат на практика намерени

== Източници ==
* В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, „Математически енциклопедичен речник“, ДИ „Наука и изкуство“, София, 1983
* „Физико-математическа и техническа енциклопедия“, том 1, Издателство на БАН, София, 1990
* ''The Penguin Dictionary of Mathematics'', Editors: J. Dainith, R. D. Nelson, Penguin Books, 1989
* Н. В. Александрова, „Математически термини“, ДИ „Наука и изкуство“, София, 1984

== Външни препратки ==
* [http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation.html Diophantine Equation]. Из сайта на ''Система Mathematica''.
* [http://planetmath.org/encyclopedia/DiophantineEquation.html Diophantine Equation] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308232508/http://planetmath.org/encyclopedia/diophantineequation.html |date=2016-03-08 }}. Из PlanetMath.
* [http://www.math10.com/bg/olimpiadi/teoria/diofantovi-uravnenia.html Диофантови уравнения]

[[Категория:Теория на числата]]
[[Категория:Уравнения]]