Преглед на кода на Дзета-функция на Риман

<div style="text-align:justify; text-justify:newspaper">
[[File:Complex zeta.jpg|thumb|Графика на ζ(s)]]
'''Дзета-функцията на Риман''', означавана като <math>\zeta(s)</math>, е обобщение за сумирането на [[безкраен ред|безкрайни редове]] от [[Дроб (математика)|дроби]]. Тя носи името на [[Германия|немския]] математик [[Бернхард Риман]]. [[Функция]]та е от особена важност в [[теория на числата|теорията на числата]] поради връзката ѝ с [[разпределение на простите числа|разпределението на простите числа]]. Тя също има приложения във [[физика]]та,<ref> Daniel Schumayer, David A. W. Hutchinson, ''Physics of the Riemann Hypothesis'', Rev. Mod. Phys. 83:307 – 330, 2011 [http://arxiv.org/abs/1101.3116 arxiv]</ref> в [[теория на вероятностите|теорията на вероятностите]] и в [[статистика]]та.

== Дефиниция ==
[[Файл:Zeta_new.png|мини|400px|<math> \zeta(s) </math> функция на Риман за три интервала на <math> \mathbf{n} \in \Z </math>.]]

'''Дзета-функцията на Риман''' ζ(''s'') е функция на една [[комплексно число|комплексна]] променлива (традиционно отбелязвана със ''s''), която се дефинира посредством следния [[безкраен ред]]:
:<math>
\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}
</math>
Този ред е [[ред на Дирихле]] и е сходящ за всички [[реално число|реални числа]] ''s''> 1. Функцията може да се додефинира за всички комплексни ''s'' ≠ 1 с помощта на [[аналитично продължение]]. Риман показва това в статията си ''„Относно броя на простите числа по-малки от дадено число“'' през [[1859]] година. Той прави това на две стъпки. Първо Риман показва че редът е сходящ за всички комплексни ''s'' с реална част Re(''s'') по-голяма от 1 и дефинира [[аналитична функция]] на променливата ''s'' в областта {''s'' ∈ '''C''': Re(''s'') > 1} След това той показва как да продължи ζ(''s'') за всички комплексни ''s'' различни от 1. В резултат дзета-функцията се превръща в [[мероморфна функция]] на
''s'', която е [[холоморфна функция|холоморфна]] в областта {''s''∈'''C''':''s''≠ 1} и има [[прост полюс]] в ''s''=1. Аналитичното продължение дефинира еднозначно функцията ζ(''s'') извън първоначалната област на сходимост. В допълнение на това, Риман извежда и [[функционално уравнение]] за дзета-функцията, което дава връзка между стойността ѝ в точките ''s'' и 1 − ''s''. Известната [[хипотеза на Риман]], която е формулирана в същата статия се отнася за нулите на така продължената функция. За да се подчертае, че ''s'' е ''комплексно'' число, то често се записва във вида ''s''=σ + ''it'', където σ = Re(''s'') е [[реална част|реалната]], а ''t'' = Im(''s'') – [[имагинерна част|имагинерната]] част на ''s''.

== Отношение към простите числа ==
[[Леонард Ойлер|Ойлер]] пръв открива връзката между сумите от дроби и [[просто число|простите числа]]. Впоследствие неговите резултати се записват чрез дзета функцията. Той открива формулата
:<math>
\begin{align}
\zeta(s)& = \prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{1-p^{-s}}\\
& = \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{8^s} + \cdots
\right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \frac{1}{27^s} +
\cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} +
\frac{1}{p^{3s}} + \cdots \right) \cdots,
\end{align}
</math>

където отдясно стои [[безкрайно произведение]] по всички прости числа ''p''. Това произведение е сходящо за Re(''s'') > 1. То е следствие на два основни резултата в математиката: формулата за [[геометрична прогресия]] и [[основна теорема на аритметиката|основната теорема на аритметиката]].

== Свойства ==
=== Стойности в зададени точки ===
Следните числа са най-често използваните стойности на дзета-функцията на Риман.

:<math>\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots =
\infty</math>; това е
[[хармоничен ред|хармоничния ред]].

:<math>\zeta(3/2) \approx 2.61238</math>

:<math>\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots =
\frac{\pi^2}{6} \approx 1.64494</math>.

:<math>\zeta(5/2) \approx 1.34149</math>

:<math>\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx
1.20207 </math>; Това число се нарича [[константа на Апери]].

:<math>\zeta(7/2) \approx 1.12673</math>

:<math>\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots =
\frac{\pi^4}{90} \approx 1.08233</math>

:<math>\zeta(9/2) \approx 1.05471</math>
:

За положителните четни числа е валидна формулата
:<math>
\zeta(2n) = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!},
</math>
където <math>n\ge 1</math>, а <math> B_n </math> са [[числа на Бернули|числата на Бернули]].

За отрицателните цели числа е валидна следната формула

:<math>\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}</math>

за <math>n\ge 1</math>.

<math>B_k = 0</math>, когато k е нечетно и по-голямо от 1, от където следва, че

:<math>\zeta(-2n)=0\,</math>

тоест четните отрицателни цели числа са нули (корени) на дзета-функцията. Тези нули се наричат ''тривиални нули''. Стойностите за първите няколко отрицателни нечетни числа са

:<math>\zeta(-1)=-\frac{1}{12}</math>

:<math>\zeta(-3)=\frac{1}{120}</math>

:<math>\zeta(-5)=-\frac{1}{252}</math>

:<math>\zeta(-7)=\frac{1}{240}</math>

Това са фактически [[аналитични продължения]], които позволяват да се приписват определени стойности на неограничено растящи стандартни сумирания. Така например

:<math>\zeta(-1)= 1 + 2 + 3 + 4 +.... </math>

Също стойността на дзета-функцията за <math>n=0</math> e
<math> \zeta(0) = -\frac{1}{2}</math>.

=== Функционално уравнение ===
Дзета-функцията удоволетворява следното [[функционално уравнение]]:
:<math>
\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi
s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)
</math>

което е изпълнено за всички комплексни числа ''s'' освен 0 и 1. Тук, с Γ е обозначена [[гама-функция]]та. Тази формула се използва за построяване на аналитичното продължение на дзета-функцията. В точката ''s'' = 1, функцията има прост [[полюс (комплексен анализ)|полюс]] с [[резидуум]] 1. Равенството също показва, че дзета-функцията има нули в точките −2, −4. Това са така наречените тривиални нули.

Съществува и симетричен вариант на функционалното уравнение. Той се получава като първо се дефинира функцията

:<math>\xi(s) =
\pi^{-s/2}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s).</math>

Тогава функционалното уравнение се задава чрез формулата

:<math>\xi(s) = \xi(1 - s).\ </math>

=== Нули ===
Дзета-функцията на Риман има нули в отрицателните цели числа. Това са така наречените '''тривиални нули'''.

Те са тривиални в смисъл, че тяхното съществуване може да се докаже сравнително лесно (например използвайки функционалното уравнение). Всички останали нули се наричат '''нетривиални'''. Нетривиалните нули са обект на много по-голямо внимание, не само защото тяхното разпределение е много по-слабо изучено, но и защото информация за тях дава отговори на забележително много въпроси от различни области на математиката. Известно е че всички нетривиални нули лежат в отворената ивица {''s'' ∈ '''C''': 0 < Re(''s'') < 1}, която се нарича '''критичната ивица'''. [[Хипотеза на Риман|Хипотезата на Риман]],
която се смята за един от най-важните нерешени проблеми в математиката,
твърди, че за всяка нетривиална нула ''s'' е вярно Re(''s'') = 1/2. В теорията на дзета-функцията на Риман, множеството {''s'' ∈ '''C''':
Re(''s'') = 1/2} се нарича '''критичната права'''.

Местоположението на нулите на дзета-функцията е от огромна важност за теорията на числата. От факта, че всички нетривиални нули лежат в критичната ивица може да се изведе [[закон за разпределение на простите числа|законът за разпределение на простите числа]]. Най-добрия известен резултат за областта в която се намират критичните нули<ref>Ford, K. ''Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function'', Proc. London
Math. Soc. (3) '''85''' (2002), pp. 565 – 633</ref> е, че ζ(σ+i''t'') ≠ 0 ако |''t''| ≥ 3 и
:<math>\sigma\ge
1-\frac{1}{57.45(\log{|t|})^{3/2}(\log{\log{|t|}})^{1/3}}.</math>
Този резултат е неизмеримо по-слаб от твърдението на римановата хипотеза. Той дори не гарантира, че съществува ивица {''s'' ∈ '''C''': ε ≤ Re(''s'') ≤ 1-ε} извън която дзета-функцията да няма нули.

Известно е, че има безброй много нули върху критичната права.
[[Джон Литълууд|Литълууд]] показва, че ако редицата
(γ<sub>''n''</sub>) се състои от имагинерните части на всички нули в горната полу-равнина в нарастващ ред, то
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\gamma_{n+1}-\gamma_n=0.</math>
Теоремата за критичната права твърди, че положителен процент от нулите лежи върху критичната права.

Нулата с най-малка неотрицателна имагинерна част в критичната ивица е 1/2+i14,13472514… От функционалното уравнение може да се види, че множеството на нетривиалните нули е симетрично относно правата Re(''s'') = 1/2. Също така от факта, че ζ(''s'')=ζ(''s''*)* за всички комплексни ''s'' ≠ 1 (* означава [[комплексно спрягане]])
следва, че нулите на дзета-функцията са симетрични относно реалната права.

=== Реципрочна функция ===
Реципрочната функция на дзета-функцията на Риман може да се изрази като [[ред на Дирихле]] с коефициенти [[Функция на Мьобиус|функцията на Мьобиус]] μ(''n''):
:<math>
\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infin} \frac{\mu(n)}{n^s}
</math>
за всяко комплексно число ''s'' с реална част > 1.

== Обобщения ==
Известен брой [[дзета-функция|дзета-функции]] могат да бъдат считани за обобщения на дзета-функцията на Риман. Един такъв пример е [[Дзета-функция на Хурвитц|дзета-функцията на Хурвиц]]

:<math>\zeta(s,q) = \sum_{k=0}^\infty (k+q)^{-s},</math>

която съвпада с дзета-функцията на Риман когато ''q'' = 1. Други примери са [[L-функция на Дирихле|L-функциите на Дирихле]] и [[дзета-функция на Дедекинд|дзета-функцията на Дедекинд]].

=== Външни препратки ===
* [http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html Riemann Zeta Function, в Wolfram Mathworld] – Математическо насочено изложение на английски

== Източници ==
<references />
</div>

[[Категория:Теория на числата]]
[[Категория:Математически анализ]]