Преглед на кода на Алгоритъм за получаване на n-мерна матрица на ротация

{{DISPLAYTITLE:Алгоритъм за получаване на ''n''-мерна матрица на ротация}}
'''Алгоритъмът за получаване''' на ''n''-мерна [[матрица на ротация]] (NRMG алгоритъм) дава възможност за създаване на матрица за ротация на зададен ''n''-мерен вектор ''X'' по посоката на зададен ''n''-мерен вектор ''Y'', т.е. за създаване на матрица ''M'', която удовлетворява уравнението

: <math>Y_x=M X</math>

където <math>Y_x</math> има същата норма като вектора <math>X</math> и същата посока като <math>Y</math>, т.е. <math>\|Y_x\|=\|X\|</math> (<math>\cos Y_x</math>,<math>Y=1</math>).

NRMG алгоритъмът включва следната последователност от операции:
* Получаване на матрица на ротация <math>M_x</math>, която извършва ротация на зададения вектор X по посока на координатната ос x<sub>1</sub>.
* Получаване на матрица на ротация <math>M_y</math>, която извършва ротация на зададения вектор Y по посока на координатната ос x<sub>1</sub>.
* Получаване на матрица на ротация <math>M</math>, която извършва ротация на зададения вектор X по посока на зададения вектор Y както следва:

: <math>M=M_y^{-1} M_x=M_y^{T} M_x</math>

Както се вижда в даденото по-горе описание, базовата операция на NRMG алгоритъма е ротацията на ''n''-мерен вектор по посока на една от координатните оси (напр. по посока на оста <math>x_1</math>).

В <ref>{{cite web|url=http://article.sapub.org/10.5923.j.ajcam.20170702.04.html|title= N-dimensional Rotation Matrix Generation Algorithm |last=Zhelezov |first=Ognyan |publisher= Scientific & Academic Publishing Co. |date=2017 |work= American Journal of Computational and Applied Mathematics}}</ref> е даден примерен код на Matlab за получаване на n-мерна матрица на ротация по зададени n-мерни вектори X и Y с използване на NRMG алгоритъма.

== Ротация на ''n''-мерен вектор по посока на оста <math>x_1</math> ==
Ротация на зададен n-мерен вектор по посока на една от координатните оси (напр. по посока на оста <math>x_1</math>) може да се извърши посредством ''n'' − 1 последователни ротации (''x''<sub>''n''−''k''</sub>, ''x''<sub>''n''−''k''+1</sub>), ''k'' = 1,...,''n'' − 1 чрез умножение с [[Ротация на Гивънс|матрици на Гивънс]] <math>G(n-k,n-k+1,\theta_{n-k})</math>, в които коефициентите ''S'' = sin(''θ''<sub>''n''−''k''</sub>) и ''C'' = cos(''θ''<sub>''n''−''k''</sub>) се изчисляват както следва:

: <math>\begin{cases}
  \sin(\theta_{n-k})=-\frac{x_{n-k+1}}{\sqrt{x_{n-k}^2+x_{n-k+1}^2}}, \cos(\theta_{n-k}) = \frac{x_{n-k}}{\sqrt{x_{n-k}^2+x_{n-k+1}^2}},\quad if\quad x_{n-k}^2+x_{n-k+1}^2>0 \\
  \sin(\theta_{n-k})=0, \cos(\theta_{n-k})=1, \quad if\quad x_{n-k}^2+x_{n-k+1}^2=0
\end{cases}
</math>

След всяка ротация в текущата координатна равнина (''x''<sub>''n''−''k''</sub>, ''x''<sub>''n''−''k''+1</sub>) се получава вектор, който е ортогонален на координатната ос ''x''<sub>''n''−''k''+1</sub>. Така последователните ротации в координатните равнини (''x''<sub>''n''−''k''</sub>, ''x''<sub>''n''−''k''+1</sub>), ''k'' = 1,...,''n'' − 1 дават вектор, който е ортогонален на всички координатни оси с изключение на x<sub>1</sub>. Матрицата на ротация <math>M_x</math> се получава като произведение на [[Ротация на Гивънс|матриците на Гивънс]] <math>G(n-k,n-k+1,\theta_{n-k}),\ k=1,\ldots,n-1,</math> както следва:

: <math>M_x =\prod_{k=1}^{n-1} G(n-k,n-k+1,\theta_{n-k})</math>

Дължината r<sub>X</sub> = <math>\parallel X\parallel</math> на зададения вектор X и ъглите на ротации θ<sub>1</sub>, ..., θ<sub>n-1</sub> от горната формула са всъщност координатите на вектора X, представен в хиперсферична координатна система като X<sub>S</sub> = [r<sub>X</sub>, -θ<sub>1</sub>, ..., -θ<sub>n-1</sub>]<sup>T</sup>. Ъглите на ротации са включени с отрицателен знак, защото при ротация на зададен вектор по посока на координатна ос x<sub>1</sub> ротациите в координатните равнини се извършват от вектора към координатните оси, докато при представянето на вектора в хиперсферична координатна система ъглите се отчитат в обратна посока – от осите към вектора.

== Източници ==
<references/>
* Zhelezov O. I. N-dimensional Rotation Matrix Generation Algorithm, American Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 7 No. 2, 2017, pp. 51 – 57. doi: 10.5923/j.ajcam.20170702.04.
* H.G. Golub, J.M. Ortega, 1993, Scientific Computing and Introduction with Parallel Computing, Academic Press, Inc., San Diego
* G. A. Korn, T.M. Korn, 1961, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (1st ed.), New York: McGraw-Hill. pp. 55 – 79.
* H. Friedberg, A. Insel, L. Spence, 1997, Linear Algebra (3rd ed), Prentice Hall.
* M. Cosnard, Y. Robert. Complexity of parallel QR factorization. J. ACM 33, 4 (August 1986), 712 – 723. DOI=10.1145/6490.214102, 1986
* A. H. Sameh, D. J. Kuck. [http://dx.doi.org/10.1145/322047.322054 On Stable Parallel Linear System Solvers]. J. ACM 25, 1 (януари 1978), 81 – 91., 1978
* N. J. Higham, 1996, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, SIAM, Philadelfia
* G. W.Steward, 1976, The economical storage of plane rotations, Numer. Math, 25, 2 1976, 137 – 139
* N. K. Bose, 1985, Multidimensional Systems Theory: Progress, Directions, and Open Problems. D.Reidel Publishing Co., Dordrecht, The Netherland
* A. S. Householder, 1958, „Unitary triangularization of a nonsimetric matrix“, J. ACM 5, 339 – 342, 1958
* E. Anderson, 2000, „Discontinuous Plane Rotations and the Symmetric Eigenvalue Problem“ LAPACK Working Note 150, University of Tennessee, UT-CS-00-454, 4 декември 2000. page 2

[[Категория:Линейна алгебра]]
[[Категория:Евклидова геометрия]]