Преглед на кода на Алгебра над поле

'''Алгебра ''А'' над дадено поле ''F''''' е [[пръстен (алгебра)|пръстен]], в който допълнително е въведена операция ''умножение с число'' (числа, формално, ще наричаме елементите на полето ''F''). Умножението трябва да е съгласувано, т.е. <math>x(ab) = (xa)b = a(xb), a, b \in F, x \in F</math>.

Допълнително ''адитивната'' [[група (алгебра)|група]] на пръстена е [[векторно пространство]]:
:<math>a,b \in A, \ x,y \in F \Rightarrow xa + yb \in A.</math>
Размерността на векторното пространство се нарича ''ранг'' на алгебрата. Алгебрите с краен ранг се наричат още ''хиперкомплексни системи''.

Ако, в допълнение, алгебрата ''А'' е ''[[пръстен на Ли]]'' то тя се нарича [[алгебра на Ли]].
[[Идеал (теория на пръстените)|Идеалът]] на пръстена е идеал и за алгебрата, ако е съгласуван с умножението с ''числата'' от ''F''.

Ако във факторпръстена ''А/I'' е въведено умножение с ''числа'' <math>x \in F</math>, по закона <math>x(a + I) = xa + I</math>, то получената алгебра над ''F'' се нарича факторалгебра на ''А'' по ''I''.

== Примери ==
* Всяко поле е алгебра над себе си (с ранг 1).
* <math> \mathbb{R}^3 </math> е алгерба с въведено събиране на [[вектор]]и, [[векторно произведение|векторното]] и [[скаларно произведение|скаларното произведение]].
* Квадратните [[Матрица (математика)|матрици]] с елементи от <math> \mathbb{C},</math> заедно с операциите събиране и умножение на матрици и умножение на матрица с [[комплексно число]].
* Алгебрата на [[кватернион]]ите, която е единствената алгебра над <math> \mathbb{R}</math> с ранг повече от 2.

== Литература ==
* Джекобсон, Алгебры Ли, М., Мир, 1964.''[http://math.nsc.ru/LBRT/a1/files/lie.djvu]''
* Станчо Павлов, Октониони – въведение ''[http://ek.roncho.net/Az_Ijica/HiperNumbers/octonions/octonions.html] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140309030603/http://ek.roncho.net/Az_Ijica/HiperNumbers/octonions/octonions.html |date=2014-03-09 }}''

{{нормативен контрол}}

[[Категория:Абстрактна алгебра]]